线性代数的复习方法 - 数学 - 上财考研网上财考研论坛|上海财经大学考研网|上海财经大学考研论坛|上海财经大学考研辅导班

学士

UID 355
精华 0
积分 13
帖子 41
威望 13
金币 0
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2006-1-3
状态离线

发表于 2007-8-31 21:11 资料个人空间短消息加为好友

线性代数的复习方法

。本文现针对线性代数课程的特点，提如下建议供考生参考。
　　一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
　　线性代数的概念很多，重要的有：
　　代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩
阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关
，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相
似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
　　往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，
导致做题时出现错误。
　　例如，矩阵A＝(α1，α2，…，αm)与B＝(β1，β2…，βm)等价，意味着经过初等
变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组α1，α2，
…αm与β1，β2，…βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的
秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等
价的信息，因此，由向量组α1，α2，…αm与β1，β2，…βm等价，可知矩阵A＝(α1，
α2，…αm)与B＝(β1，β2，…βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价
。
　　又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二
次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立
，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指
数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～BAB，即相似是合同的充分
条件。
　　线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的
有：
　　行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的
秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通
解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用
正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
　　二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
　　线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法
灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努
力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了
。
　　例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是
齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有

　　r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n
　　进而可求矩阵A或B中的一些参数
　　再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线
性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间
的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组(λiE-A)x＝0的基础解系由ni个解向量
组成，进而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根
且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每
个特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角
化。
　　又比如，对于n阶行列式我们知道：
　　若｜A｜＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解
)，而当｜A｜≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；
　　可用｜A｜证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1；
　　对于n个n维向量α1，α2，…αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2…αn｜是否为零来
判断向量组的线性相关性；
　　矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)＜r，则A中r阶子式全为
0；
　　求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，则行列
式｜λ0E-A｜＝0；
　　判断二次型xTAx的正定性，可以用顺序主子式全大于零。
　　凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与
灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。
　　三、注重逻辑性与叙述表述
　　线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原
理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时
，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确
、简明。
　　线性代数中常见的证明题型有：
　　证｜A｜＝0；证向量组α1，α2，…αt的线性相关性，亦可引伸为证α1，α2…，α
t是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，
可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否
有解(亦即β能否由α1，α2…，αs线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无
公共解；证二次型的正定性，规范形等。
　　总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在考试中取得好成绩，一定
要认真仔细地复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不
断地总结经验与教训，做到融会贯通。

[广告] 头衔与积分、星星数关系

skybei

学士

UID 16527
精华 0
积分 2
帖子 14
威望 2
金币 1
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2007-4-4
状态离线

使用道具

发表于 2007-9-3 10:41 资料个人空间短消息加为好友

支持支持支持支持支持

[广告] 头衔与积分、星星数关系

莫问剑

学士

UID 22320
精华 0
积分 5
帖子 71
威望 4
金币 6
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2007-8-12
状态离线

使用道具

发表于 2007-9-3 12:33 资料个人空间短消息加为好友

顶,楼主辛苦了

[广告] 头衔与积分、星星数关系

flcat99

学士

UID 19073
精华 0
积分 2
帖子 25
威望 1
金币 7
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2007-6-2
状态离线

使用道具

发表于 2007-9-3 17:41 资料个人空间短消息加为好友

谢谢楼主！

[广告] 头衔与积分、星星数关系

善良心.珊

硕士

UID 22531
精华 0
积分 85
帖子 121
威望 24
金币 610
宣传值 0
阅读权限 20
注册 2007-8-15
状态离线

使用道具

发表于 2007-9-5 22:40 资料个人空间短消息加为好友

谢谢宏观指导哦~~

[广告] 头衔与积分、星星数关系

wendyky

学士

UID 14838
精华 0
积分 26
帖子 186
威望 8
金币 183
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2007-3-5
状态离线

使用道具

发表于 2007-9-15 08:22 资料个人空间短消息加为好友

谢谢楼主

[广告] 头衔与积分、星星数关系

VANIC229

学士

UID 23731
精华 0
积分 1
帖子 16
威望 1
金币 4
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2007-9-17
状态离线

使用道具

发表于 2007-9-27 09:24 资料个人空间短消息加为好友

谢谢!楼主

[广告] 头衔与积分、星星数关系

crystal1860

学士

UID 19544
精华 0
积分 16
帖子 140
威望 10
金币 56
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2007-6-13
状态离线

使用道具

发表于 2008-3-20 18:41 资料个人空间短消息加为好友

谢谢楼主谢谢楼主

[广告] 头衔与积分、星星数关系

a281001

学士

UID 27961
精华 0
积分 4
帖子 39
威望 3
金币 8
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2008-2-15
状态离线

使用道具

发表于 2008-4-3 13:52 资料个人空间短消息加为好友

谢谢
呵呵
真好

[广告] 头衔与积分、星星数关系

xgd2268

学士

UID 27819
精华 0
积分 2
帖子 55
威望 1
金币 11
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2008-2-10
状态离线

#10

使用道具

发表于 2008-4-11 07:55 资料个人空间短消息加为好友

顶,楼主辛苦了!!!!!!!!!!!!

[广告] 头衔与积分、星星数关系

luli8806 (小猪猪)

学士

UID 32775
精华 0
积分 4
帖子 43
威望 3
金币 8
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2008-4-15
状态离线

#11

使用道具

发表于 2008-4-17 05:01 资料个人空间短消息加为好友

支持楼主哈！！！

Life is a box of chocolates, you never know what you are going to get

[广告] 头衔与积分、星星数关系

caro0922

学士

UID 32809
精华 0
积分 6
帖子 86
威望 1
金币 53
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2008-4-15
状态离线

#12

使用道具

发表于 2008-4-19 22:12 资料个人空间短消息加为好友

有深度，谢谢谢谢啊

[广告] 头衔与积分、星星数关系

Ariel88

学士

UID 39317
精华 0
积分 5
帖子 26
威望 3
金币 17
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2008-7-27
状态离线

#13

使用道具

发表于 2008-7-29 19:07 资料个人空间短消息加为好友

ddddddddddddddddddddddddd

[广告] 头衔与积分、星星数关系

ztk3799775

学士

UID 17795
精华 0
积分 1
帖子 60
威望 1
金币 0
宣传值 0
阅读权限 10
注册 2007-5-1
状态离线

#14

使用道具

发表于 2008-7-31 12:10 资料个人空间短消息加为好友

很有道理,线性代数的概念确实比较乱

[广告] 头衔与积分、星星数关系

《2007上财考研内参》第1～5期	《金融联考内参》第1～7期(更新ing)	《2007法律硕士内参》第1～3期
文文印务——最便宜的复印店	曼昆宏观经济学课后习题中文版	荣誉勋章申领处